- Ортогональная матрица
-
Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:[1]
или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:
Содержание
Свойства
- Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:
-
- и
- где , n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.
Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.
- Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
- Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
- Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
- Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида
- и
Примеры
- — пример матрицы поворота
- — пример перестановочной матрицы
См. также
Примечания
- ↑ Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.
Категория:- Типы матриц
Wikimedia Foundation. 2010.